Pi...

Lidt dybere betragtninger om pi

 

Anvendelse

π er et tal som bruges optræder i rigtig mange formler inden for geometri. For eksempel fortæller π hvad forholdet mellem diameteren og omkredsen er i en cirkel: Hvis D er diameteren og O er omkredsen så gælder forholdet:

O = πD.

og hvis A er arealet og r er radius (altså r=frac{D}{2}) så gælder formlen

A = r2π.

Sådan udregnes π

Der findes uendelig mange formler til at udregne π. Her er et par stykker:

sum_{i=1}^{infty}frac{1}{i^2}=frac{pi^2}{6}, som er ensbetydende med at pi=sqrt{sum_{i=1}^{infty}frac{6}{i^2}}. Skal man bruge den formel kan man selvfølgelig ikke tage alle led med i summen (der er jo uendeligt mange). Men man kan få et rimeligt præcist bud på π ved at tage fx. de første 100 led (eller 1000 led hvis man vil være mere præcis). Ved henholdsvis 100 og 1000 led fåes 3.1320765318 og 3.1406380562.

På lidt samme måde kan man udregne π ved formlen: pi=sqrt[4]{sum_{i=1}^{infty}frac{90}{i^4}}. Denne er mere præcis, da der skal bruges færre led i formlen for at opnå en ønsket præcision. Tager man 100 led med i summen fåes 3.1415924153, som kun ligger 0.0000023828243 fra den korrekte værdi.

En lidt mere finurlig måde at regne det ud på er ved kun at bruge primtallene:

frac{6}{pi^2}=prod_{i=1}^{infty}(1-frac{1}{primtal_{i}}),

hvor primtali er det i'te primtal i rækken (altså 2 er den første, 3 den anden, 5 den tredie, osv.). prod betyder, at man ganger de led sammen, man får ved at sætte i ind i det der står i parantesen. Flytter man lidt rundt sådan at π isoleres på den ene side fåes pi=sqrt{frac{6}{prod_{i=1}^{infty}(1-frac{1}{primtal_{i}})}}.

Hvis man tager de første 100 primtal i rækken og sætter ind på højre side i denne formel fåes 3.1411926605. Denne formel kan synes noget mærkværdig, idet at primtal og π normalt hører til i to helt forskellige verdener. Hvorfor i alverden skulle primtal nu have noget med omkredsen af en cirkel at gøre. Sådan er det bare - og hvis man vil vide hvorfor, så står det her: "Probability with a view toward statistics" af J. Hoffman-Jørgensen. (ISBN 0-412-05221-0) - side 139. Ligningen kaldes i øvrigt "Eulers-ligning".

Så vidt forfatteren af denne artikel ved, så eksistere der ikke nogen formler for π, hvor man kan undgå at der skal uendelige rækker til af den ene eller anden slags.

Skrevet af Jacob Simonsen (statistiker af Gud's nåde)

Download

Er du udvalgt copydan skole, skal du huske at indberette fra denne hjemmeside

Kommentarer/Spørgsmål

Har du kommentarer/spørgsmål om denne opgave. Brug matematikbankens forum på https://www.facebook.com/groups/matematikbanken/. Eller send en mail til info@matematikbanken.dk

Husk er du udvalgt copydan skole, skal du huske at indberette fra denne hjemmeside.

Du skal indberette hvis:

  • Du giver eleverne link til denne/disse fil(er)
  • Printer dokumentet til eleven
  • Gemmer en digital kopi, som så udleveres til eleverne
  • Viser et powerpoint for elever

SE mere på www.tekstognode.dk

”Eksemplarfremstilling af digital/papirkopier/prints fra denne hjemmeside til undervisningsbrug på uddannelsesinstitutioner og intern administrativ brug er tilladt med en aftale med Copydan Tekst & Node. Eksemplarfremstillingen skal ske inden for de rammer, der er nævnt i aftalen.”



Sidst opdateret d. 2012-09-01 af Morten Graae